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int32 0
1.06M
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5.6k
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10.9k
|
|---|---|---|
39,612 |
e ^ { 2 \pi i \nu _ { I } } = - \frac { 1 + i b _ { I } } { 1 - i b _ { I } } ~ , \quad 0 < \nu _ { I } < 1 ~ .
|
|
216,638 |
\beta = - 0 . 2
|
|
561,403 |
( \epsilon \leq \epsilon _ { c } ) \wedge ( U > U _ { c } )
|
|
220,047 |
\frac { d Y _ { i } ( t ) } { d t } = - Y _ { i } ( t ) \left( \sum _ { j } c _ { i j } Y _ { j } ( t ) \right) ,
|
|
795,623 |
r \, \frac { k S _ { k } } { \langle k \rangle } \sum _ { k ^ { \prime } } I _ { k ^ { \prime } } ( k ^ { \prime } - 1 ) \pi ( k ^ { \prime } ) = r \, \frac { k S _ { k } } { k _ { 0 } } \sum _ { k ^ { \prime } } I _ { k ^ { \prime } } ( k ^ { \prime } - 1 ) \delta _ { k ^ { \prime } , k _ { 0 } } = r \, \frac { k S _ { k } } { k _ { 0 } } \ \ I _ { k _ { 0 } } ( k _ { 0 } - 1 )
|
|
255,005 |
7 . 8 6
|
|
13,115 |
[ \frac { v _ { f } } { v _ { i } } \omega ^ { 2 } + m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \infty ) ] ^ { - 1 }
|
|
634,424 |
q _ { \mathrm { a } }
|
|
31,227 |
\cal { S }
|
|
762,825 |
U _ { i n } = U _ { B l a s i u s } ( 1 + 0 . 1 \cos { ( 2 \pi x _ { 2 } / L _ { x _ { 2 } } ) } )
|
|
777,191 |
\begin{array} { r l r } { c \left( \mathbf { p } _ { - } ^ { \left( \zeta , \beta \right) } , T _ { \zeta , \beta } \right) } & { = } & { c \left( \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } \right) } , T _ { \left\{ \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } \right\} } + \tau \left( \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } \right) \right) , } \\ { \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } \right) } } & { = } & { \mathbf { p } _ { - , T _ { \left\{ \zeta , \beta \right\} } - T _ { \left\{ \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } \right\} } - \tau \left( \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } \right) } ^ { \left( \zeta , \beta \right) } , } \end{array}
|
|
942,909 |
\tau
|
|
822,386 |
\begin{array} { r l } { T ^ { \ast } } & { = A ^ { \ast } \omega ^ { \ast } + C _ { 1 } ^ { \ast } ( \gamma _ { 1 } t ) ^ { \ast } + C _ { 2 } ^ { \ast } ( \gamma _ { 2 } t ) ^ { \ast } + C _ { 3 } ^ { \ast } ( \gamma _ { 3 } t ) ^ { \ast } + C _ { 4 } ^ { \ast } ( \gamma _ { 4 } t ) ^ { \ast } + D _ { 1 } ^ { \ast } ( \delta _ { 1 } u ) ^ { \ast } + D _ { 2 } ^ { \ast } ( \delta _ { 2 } u ) ^ { \ast } + D _ { 3 } ^ { \ast } ( \delta _ { 3 } u ) ^ { \ast } + D _ { 4 } ^ { \ast } ( \delta _ { 4 } u ) ^ { \ast } } \\ & { = - A ^ { \ast } \omega - C _ { 1 } ^ { \ast } \gamma _ { 1 } t + C _ { 2 } ^ { \ast } \gamma _ { 2 } t + C _ { 3 } ^ { \ast } \gamma _ { 3 } t - C _ { 4 } ^ { \ast } \gamma _ { 4 } t - D _ { 1 } ^ { \ast } \delta _ { 1 } u + D _ { 2 } ^ { \ast } \delta _ { 2 } u + D _ { 3 } ^ { \ast } \delta _ { 3 } u - D _ { 4 } ^ { \ast } \delta _ { 4 } u } \end{array}
|
|
830,505 |
| \Psi _ { V } \rangle \equiv \partial _ { \lambda } \big | _ { \lambda = 0 } \, | \Psi _ { 0 } \rangle
|
|
1,039,730 |
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial v } { \partial \tau } + \frac { 1 } { \tau _ { L } } \frac { \partial v } { \partial \zeta } = d _ { x } \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial \zeta ^ { 2 } } - a _ { x } v ( 1 - x - y ) ^ { 2 } ( 1 - z ) ^ { 2 } , } \\ & { } & { \frac { \partial w } { \partial \tau } + \frac { 1 } { \tau _ { L } } \frac { \partial w } { \partial \zeta } = d _ { y } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial \zeta ^ { 2 } } - a _ { y } \big [ p w ( 1 - x - y ) - \kappa _ { 3 } y \big ] , } \\ & { } & { \frac { \partial x } { \partial \tau } = j _ { x } ( x , y ) + v ( 1 - x - y ) ^ { 2 } ( 1 - z ) ^ { 2 } - \kappa _ { 4 } x y - \kappa _ { 5 } x ( 1 - z ) , } \\ & { } & { \frac { \partial y } { \partial \tau } = j _ { y } ( y , x ) + p w ( 1 - x - y ) - \kappa _ { 3 } y - \kappa _ { 4 } x y - \kappa _ { 6 } y z , } \\ & { } & { \frac { \partial z } { \partial \tau } = \kappa _ { 5 } x ( 1 - z ) - \kappa _ { 6 } y z , } \end{array}
|
|
1,006,460 |
\Omega = [ 0 , 8 6 4 0 0 ] \times [ - \pi , \pi ] \times [ - \pi / 2 , \pi / 2 ]
|
|
422,480 |
\omega ^ { 2 } = v ^ { 2 } k ^ { 2 } + f ^ { 2 }
|
|
854,481 |
h
|
|
778,133 |
v ( t ) = V ( t ) / n _ { \mathrm { o r i } } ( t )
|
|
563,802 |
\Gamma _ { N }
|
|
531,300 |
A = \int . . . \int d k _ { 1 } . . . d k _ { r } A _ { I } ( q _ { j } , k _ { i } ) \prod _ { n = 1 } ^ { r } \frac { W _ { n } ( k _ { n } ^ { 2 } , q ) } { k _ { n } ^ { 2 } + m _ { n } ^ { 2 } } A _ { I I } ( q _ { j } ^ { \prime } , k _ { i } ) \delta ^ { 4 } ( q - k _ { 1 } - . . . - k _ { r } ) ,
|
|
586,756 |
\begin{array} { r l } & { \quad p \circ \pi _ { 1 } \circ ( \sigma \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - _ { \pi _ { 0 } } ( i d , T Y \circ \varrho ) \circ X ) } \\ & { = p \circ ( \pi _ { 1 } \circ \sigma \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - _ { T \pi } T Y \circ \varrho \circ X ) } \\ & { = p \circ \pi _ { 1 } \circ \sigma \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - _ { \pi } p \circ T Y \circ \varrho \circ X } \\ & { = \pi _ { 0 } \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - Y \circ p \circ \varrho \circ X } \\ & { = Y - Y = \xi , } \\ & { \pi _ { 0 } \circ ( \sigma \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - _ { \pi _ { 0 } } ( i d , T Y \circ \varrho ) \circ X ) } \\ & { = \pi _ { 0 } \circ \sigma \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - _ { \pi } \pi _ { 0 } \circ ( i d , T Y \circ \varrho ) \circ X } \\ & { = p \circ \pi _ { 1 } \circ ( i d , T X \circ \varrho ) \circ Y - _ { \pi } X } \\ & { = p \circ T X \circ \varrho \circ Y - _ { \pi } X = X - _ { \pi } X = \xi . } \end{array}
|
|
270,406 |
\sigma ^ { - }
|
|
1,054,041 |
\begin{array} { r } { \mathbf { i } _ { G } = \mathsf { Y } _ { G } \mathbf { v } _ { G } = \frac { 1 } { R } \, i \sigma ^ { y } \, \mathbf { v } _ { G } \, , } \end{array}
|
|
161,146 |
T _ { a , b } ^ { \omega } = \left( \begin{array} { l l } { \cos \big ( \frac { \omega \rho ( b - a ) } { Z } \big ) } & { \frac { 1 } { \omega } \frac { Z } { \rho } \sin \big ( \frac { \omega \rho ( b - a ) } { Z } \big ) } \\ { - \omega \frac { \rho } { Z } \sin \big ( \frac { \omega \rho ( b - a ) } { Z } \big ) } & { \cos \big ( \frac { \omega \rho ( b - a ) } { Z } \big ) } \end{array} \right) .
|
|
416,048 |
t = 9 2 0
|
|
585,858 |
G _ { i } ( z ) = z \prod _ { j } H _ { i \leftarrow j } ( z ) ,
|
|
747,479 |
n = 3
|
|
268,227 |
P ( z | w ) = \frac { P ( w | z ) P ( z ) } { P ( w ) }
|
|
810,828 |
U _ { k }
|
|
759,876 |
f ( z ) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) } { w - z } } \, d w , \quad f ^ { \prime } ( z ) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) } { ( w - z ) ^ { 2 } } } \, d w , \quad \ldots , \quad f ^ { ( k ) } ( z ) = { \frac { k ! } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) } { ( w - z ) ^ { k + 1 } } } \, d w .
|
|
765,091 |
\left| \partial u / \partial z \right| ^ { n - 1 } \partial u \partial z = \tau _ { w } / ( \rho A )
|
|
142,372 |
\{ q _ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 } \}
|
|
551,023 |
\epsilon _ { | | } = \frac { m ^ { 2 } + 6 b h ^ { 2 } \arctan ^ { 2 } \left[ \operatorname { t a n h } \left( \frac { z \delta } { 2 } \right) \right] } { \left[ 2 \cosh ( z \delta ) \right] ^ { b } } ,
|
|
677,259 |
g = \theta ^ { - 1 } ~ k ~ \theta .
|
|
896,597 |
M _ { + + } ^ { 2 } = \frac { \lambda _ { 9 } } { 2 } ( v _ { \rho } ^ { 2 } + v _ { \chi } ^ { 2 } ) - \frac { A } { \sqrt 2 } \left( \frac { 1 } { v _ { \rho } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { v _ { \chi } ^ { 2 } } \right) ,
|
|
528,659 |
\sqrt { 0 . 6 8 ^ { 2 } + 0 . 1 9 ^ { 2 } } = 0 . 4 2
|
|
795,561 |
\int _ { - \infty } ^ { \infty } C ( x , t ) d x = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f _ { 0 } \frac { 1 } { \sqrt { t } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } d x = f _ { 0 } \, 2 \sqrt { \pi D } .
|
|
734,777 |
D _ { h }
|
|
81,736 |
k = 4
|
|
872,154 |
- 0 . 1
|
|
363,496 |
h _ { \mu \nu } = g _ { \mu \nu } + \partial _ { \mu } x ^ { i } \partial _ { \nu } x ^ { j } g _ { i j } \ .
|
|
628,498 |
{ \frac { \partial ^ { k _ { 1 } + \cdots + k _ { n } } f } { \partial { z _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \cdots \partial { z _ { n } } ^ { k _ { n } } } } = \sum _ { v = 1 } ^ { \infty } { \frac { \partial ^ { k _ { 1 } + \cdots + k _ { n } } f _ { v } } { \partial { z _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \cdots \partial { z _ { n } } ^ { k _ { n } } } }
|
|
783,575 |
u = 0
|
|
239,590 |
O ( \ell ^ { 2 } )
|
|
409,827 |
\rho ^ { 2 } = r ^ { 2 } + \alpha _ { s } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta
|
|
847,212 |
g ^ { \prime }
|
|
921,115 |
\operatorname* { l i m } _ { \gamma \to 0 } \hat { H } _ { F \gamma } ^ { ( T ) } = \hat { H } _ { F } ^ { ( T ) }
|
|
200,948 |
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \langle X ( t ) \rangle } & { = } & { \left. - i \frac { \partial \hat { P } ( l , t ) } { \partial l } \right\vert _ { l = 0 } } & { } & { = } & { \left( \langle u _ { \mathrm { S } } \rangle + \frac { \alpha } { \beta } \Lambda \right) t , } \\ { \langle \tilde { X } ( t ) ^ { 2 } \rangle } & { = } & { \left. - \frac { \partial ^ { 2 } \hat { P } ( l , t ) } { \partial l ^ { 2 } } \right\vert _ { l = 0 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } & { } & { = } & { \left( \sigma ^ { 2 } + \frac { \alpha ( \alpha + 1 ) } { \beta } \Lambda \right) t , } \\ { \langle \tilde { X } ( t ) ^ { 3 } \rangle } & { = } & { \left. i \frac { \partial ^ { 3 } \hat { P } ( l , t ) } { \partial l ^ { 3 } } \right\vert _ { l = 0 } - 3 m _ { 1 } m _ { 2 } + 2 m _ { 1 } ^ { 3 } } & { } & { = } & { \frac { \alpha ( 1 + \alpha ) ( 2 + \alpha ) } { \beta ^ { 2 } } \Lambda t , } \end{array}
|
|
840,924 |
{ \bf g } _ { 0 }
|
|
875,807 |
| \Delta x | )
|
|
537,730 |
_ x \rangle
|
|
901,715 |
A ( \theta _ { i } ^ { + } ) = \frac { { f _ { j } ^ { + } } ^ { 2 } { g _ { i } ^ { + } } ^ { 2 } + { f _ { i } ^ { + } } ^ { 2 } { g _ { j } ^ { + } } ^ { 2 } } { 2 f _ { i } ^ { + } f _ { j } ^ { + } g _ { i } ^ { + } g _ { j } ^ { + } } .
|
|
172,453 |
\begin{array} { r l } & { ( 1 - p _ { d } ) z ^ { 2 } ( z + 1 ) ( z - 1 ) \partial _ { z } ^ { 3 } f _ { \lambda } ( z ) } \\ & { + ( 1 - p _ { d } ) z ( z - 1 ) ( 2 + 4 z - 3 N z ) \partial _ { z } ^ { 2 } f _ { \lambda } ( z ) } \\ & { - ( N - 1 ) ( z - 1 ) ( ( N - 1 ) ( z + 1 ) p _ { d } + ( 1 - p _ { d } ) ( N + 2 z ( 1 - N ) ) ) \partial _ { z } f _ { \lambda } ( z ) } \\ & { + ( N - 1 ) ( \lambda + N ( z - 1 ) p _ { d } ) f _ { \lambda } ( z ) = 0 , } \end{array}
|
|
547,315 |
\frac { \partial \ell } { \partial \boldsymbol { \mu } } ( \boldsymbol { \hat { \mu } } ) = 0
|
|
1,020,327 |
z _ { 1 }
|
|
1,008,950 |
{ \mathrm { R e } } \sim \mathcal { O } ( 1 0 ^ { 4 } )
|
|
573,138 |
B _ { \mathrm { e q u i v } } = B _ { \mathrm { g a p } } / \epsilon
|
|
230,465 |
\Delta f / f _ { 0 } = - 5 / 2 E _ { \mathrm { k i n } } / m c ^ { 2 }
|
|
428,810 |
\rho _ { C } - \rho _ { D }
|
|
825,918 |
\beta
|
|
145,960 |
\eta
|
|
670,341 |
k ( \phi ) = \frac { \phi ^ { 3 } } { ( 1 - \phi ) ^ { 2 } } \bar { k } ,
|
|
573,571 |
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial e ^ { s } ( { \bf k } ) } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } } { 1 6 b _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } \left( \frac { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { k } } { \sin \theta _ { k } } \right) ^ { 2 } \delta ( \Omega _ { k p q } ) \delta ( { \bf k } + { \bf p } + { \bf q } ) \quad \quad } \end{array}
|
|
659,213 |
C = D N ( d _ { + } ) F - D N ( d _ { - } ) K ,
|
|
435,042 |
( f , g ) _ { t } = \iint { \frac { f ( z ) { \overline { { g ( w ) } } } } { | z - w | ^ { 2 - t } } } \, d z \, d w ,
|
|
1,021,361 |
\beta F c ^ { 0 } \| \vec { v } \| _ { 2 } / H
|
|
553,684 |
\epsilon _ { x }
|
|
540,703 |
\| e _ { 0 , \Delta - \Delta ^ { \prime } } \| = \| \boldsymbol { \chi } _ { 0 , \Delta } - \boldsymbol { \chi } _ { 0 , \Delta ^ { \prime } } \|
|
|
451,432 |
\omega _ { g }
|
|
716,443 |
2 0 \%
|
|
1,018,799 |
T _ { L } = { \frac { | C | ^ { 2 } } { | A | ^ { 2 } } } = | S _ { 2 1 } | ^ { 2 } .
|
|
852,259 |
\mp
|
|
80,580 |
x -
|
|
135,520 |
k > 1
|
|
669,255 |
\begin{array} { r } { \hat { \psi } ( z ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathbf { i } } \int _ { \gamma - \textbf { i } \infty } ^ { \gamma + \textbf { i } \infty } \exp { ( s t ) } d s \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \exp { ( \lambda _ { i } ( s ) z ) } \Bigg [ \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s ) | } A d j ( \mathscr { D } ( s ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s ) + \mathscr { F } _ { i } ( s ) I _ { i } ( s , z ) \Bigg ] } \end{array}
|
|
212,065 |
P _ { \theta } [ Y = y ] = \frac { 1 } { \psi } \exp \left( \sum _ { k } \theta _ { k } g _ { k } ( y ) \right)
|
|
39,914 |
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \xi _ { k } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } } & { \Bigl ( \sum _ { i \in S _ { k } } N _ { i } ^ { 2 } Y _ { i j } ^ { 2 } \Bigr ) = \underbrace { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { \xi _ { k } N _ { i } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } ( 1 - 2 \Omega _ { i j } ) Y _ { i j } } _ { J _ { 3 } } } \\ & { + \underbrace { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { \xi _ { k } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } \sum _ { r \neq s } Z _ { i j r } Z _ { i j s } } _ { J _ { 4 } } + \underbrace { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { \xi _ { k } N _ { i } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } \Omega _ { i j } ( 1 - \Omega _ { i j } ) } _ { J _ { 5 } } . } \end{array}
|
|
336,797 |
A _ { r } = 2 \pi r \ell
|
|
963,331 |
{ \delta } \varphi _ { A } + { \delta } { \cal T } _ { A } = 0 , \; \; \; { \delta } \varphi _ { B } + { \delta } { \cal T } _ { B } = 0 , \; \; \mathrm { a n d } \; \; { \delta } \varphi _ { C } + { \delta } { \cal T } _ { C } = 0 .
|
|
274,714 |
{ \begin{array} { r } { \mathbf { a } \times ( \mathbf { b } \times \mathbf { c } ) = \mathbf { b } ( \mathbf { c } \cdot \mathbf { a } ) - \mathbf { c } ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } ) } \\ { ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) \times \mathbf { c } = \mathbf { b } ( \mathbf { c } \cdot \mathbf { a } ) - \mathbf { a } ( \mathbf { b } \cdot \mathbf { c } ) } \end{array} }
|
|
1,043,728 |
W = [ w _ { i j } ]
|
|
866,539 |
d U = \delta W + \delta Q .
|
|
894,664 |
\approx \pm 1 0 \%
|
|
568,426 |
\begin{array} { r } { \partial _ { t } c _ { i } + u ( \mathbf { y } , t ) \partial _ { x } c _ { i } = \kappa _ { i } \Delta c _ { i } , \quad i = 1 , \hdots , n . } \end{array}
|
|
316,187 |
\upsilon
|
|
16,506 |
m _ { W }
|
|
1,039,045 |
G _ { \textrm { t x 2 } , i } ( t )
|
|
993,221 |
\vec { \bf x }
|
|
860,169 |
{ \frac { \left( { \mathrm { o b s e r v e d } } - { \mathrm { e x p e c t e d } } \right) ^ { 2 } } { \mathrm { e x p e c t e d } } } = { \frac { \left( 9 0 - 8 0 . 5 4 \right) ^ { 2 } } { 8 0 . 5 4 } } \approx 1 . 1 1
|
|
412,258 |
1 5 0
|
|
705,790 |
\beta = 5 / 4
|
|
754,803 |
h _ { \mathrm { X C } } ( r _ { \parallel } , z , z ^ { \prime } )
|
|
682,235 |
1 4
|
|
250,209 |
\begin{array} { r l } { \gamma ( t _ { i } ) } & { = \gamma \delta _ { t _ { i } , 0 } + ( 1 - \gamma ) \left( 1 - \delta _ { t _ { i } , 0 } \right) } \\ { S _ { 1 } : = } & { \sum _ { j \in \partial i } ( t _ { i } - t _ { j } - 1 ) _ { + } } \\ { S _ { 2 } : = } & { \sum _ { j \in \partial i } \theta ( t _ { i } - t _ { j } - 1 ) } \end{array}
|
|
33,007 |
t ^ { 2 }
|
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992,986 |
( 1 0 0 )
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807,929 |
\Lambda _ { + } ( p ) \Lambda _ { - } ( p ) = \Lambda _ { - } ( p ) \Lambda _ { + } ( p ) = 0
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906,194 |
\mathcal { F } r ( \theta ) \equiv \frac { u _ { \mathrm { c } } } { u _ { 0 } } = \sqrt { \frac { 2 A } { 1 + D C _ { \mathrm { d } } } } \sqrt { \cos \theta + \frac { D B } { A } \sin \theta } \equiv \mathcal { F } r _ { 0 } \sqrt { \cos \theta + C \sin \theta } ,
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226,952 |
\times
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Subsets and Splits
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