deepcopy/UniMER · Datasets at Hugging Face

id int32 0 1.06M	image imagewidth (px) 12 5.6k	text stringlengths 1 10.9k
830,221		1 9 8 . 6 7 8 _ { 1 9 6 . 5 7 4 } ^ { 2 0 1 . 3 8 2 }
102,345		i
863,661		_ 2
164,398		T _ { e }
194,522		\int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi \, \frac { \Phi _ { B 1 } ( \xi ) } { \xi } = \frac { m _ { B } } { \lambda _ { B } } \, .
504,626		\mathbf { u }
13,677		g g
451,704		\langle \delta \theta ^ { 2 } \rangle = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } S _ { \delta \theta } \, d \omega = \frac { k _ { B } T } { I } \frac { \Gamma } { \Gamma ^ { \prime } } \frac { 1 } { \omega _ { m } ^ { \prime \, 2 } } + \frac { 2 \beta ^ { 2 } P _ { \mathrm { o p t } } ^ { 2 } \tau _ { 0 } ^ { 2 } G _ { D } ^ { 2 } } { I ^ { 2 } \Gamma ^ { \prime } } S _ { \theta _ { n } }
963,874		( 0 , 1 )
456,455		\mathbb { P } \left( \operatorname* { m i n } \{ H _ { S , i } ^ { L } : \ i = \operatorname* { m i n } ( 0 , \tau ) , \dots , \operatorname* { m a x } ( 0 , \tau ) \} > u \ \Big \| \ H _ { S , 0 } \in [ 1 1 . 5 , 1 2 . 5 ] \right) ,
406,751		E _ { w } \approx \rho g \sigma ^ { 2 } .
21,598		G _ { \mathrm { V O R - a n g l e - r i g h t } }
136,060		v _ { \varphi }
615,414		\begin{array} { r } { \Delta \nu = s _ { \mathrm { ~ m ~ } } \, p + \Delta ^ { 2 } \nu , } \end{array}
669,199		E _ { \psi } \equiv q ^ { E _ { 1 1 } + E _ { n n } - \frac { 2 } { n } N } \, E _ { 1 n } \, , ~ ~ ~ ~ F _ { \psi } \equiv E _ { n 1 } \, q ^ { - E _ { 1 1 } - E _ { n n } + \frac { 2 } { n } N } \, E _ { 1 n }
503,038		\frac { L } { \pi } T _ { F } ^ { + + } ( n , m ) \| 0 \rangle = { \frac { ( n - m ) } { 4 } } b _ { i j } ^ { \dagger } ( n ) b _ { j i } ^ { \dagger } ( m ) \| 0 \rangle \, .
771,914		5 y ^ { 4 } { \frac { d y } { d x } } - { \frac { d y } { d x } } = { \frac { d x } { d x } } \, ,
87,871		\left( e _ { 2 j } \right) _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } = \sqrt { Q } ~ \prod _ { k } ~ \delta ( \sigma _ { k } , \sigma _ { k } ^ { \prime } ) { } ~ \delta ( \sigma _ { j } , \sigma _ { j + 1 } )
37,074		C _ { 0 } \approx \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } \epsilon D \frac r b \, .
828,930		P _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ e ~ t ~ i ~ c ~ } }
795,322		\pm 0 . 5 \%
203,980		f : S ^ { 2 } \to \mathbb { C }
71,168		\begin{array} { r } { \frac 1 B \sum _ { k = 2 } ^ { ( \ell _ { N } ) ^ { n } } \frac { 1 } { k ^ { m } } + T B \frac { ( \ell _ { N } ) ^ { m - 1 } } { N } \sum _ { k = 2 } ^ { ( \ell _ { N } ) ^ { n } } \frac { 1 } { k ^ { m - 2 } } \lesssim \frac 1 B + T B \left( \frac { ( \ell _ { N } ) ^ { m - 1 + n ( 3 - m ) } } { N } + \frac { ( \ell _ { N } ) ^ { m - 1 } } { N } \right) , } \end{array}
820,315		\begin{array} { r l r } { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { l a b } } & { { } = } & { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { c m } \frac { d \Omega _ { c m } } { d \Omega _ { l a b } } } \end{array}
742,175		K _ { q } ^ { M N B D } = k ^ { 1 - q } ( q - 1 ) ! ( \chi ^ { q } - \Delta ^ { q } ) / ( \chi - \Delta ) ^ { q } ,
1,023,949		\left[ { \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { a _ { 0 } } & { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { a _ { 4 } } & { a _ { 5 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { a _ { 6 } } \end{array} } \right]
408,138		g ^ { ( 2 ) } ( 0 ) = 1 - \frac { 1 } { N _ { s s } } + \frac { \langle \delta N _ { } ( 0 ) ^ { 2 } \rangle } { N _ { s s } ^ { 2 } } .
104,835		\Omega _ { c }
663,993		\alpha _ { z } \equiv \langle \mathcal { T } _ { z \varphi } / P _ { 0 } \rangle _ { r \varphi }
387,388		c _ { 1 } , c _ { 2 } , c _ { 3 } , c _ { 4 }
323,367		^ { 1 , 2 , 3 , 4 }
87,619		s
330,348		- { \frac { 4 } { 7 } } \Delta + { \frac { 5 } { 7 } } \Sigma ^ { * } + { \frac { 2 } { 7 } } \Xi ^ { * } - { \frac { 3 } { 7 } } \Omega
938,755		A _ { s }
394,341		\| V _ { u b } \| ^ { 2 } = \frac { \| V _ { u b } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { \| V _ { t b } ^ { 0 } \| ^ { 2 } ( h ^ { 2 } - 1 ) + 1 } ,
137,625		K
1,371		k T _ { H } ^ { \mathrm { R N } } = { \frac { \hbar } { 4 \pi r _ { H } } } \left( 1 - { \frac { G Q ^ { 2 } } { r _ { H } ^ { 2 } } } \right) .
270,582		C _ { \mathrm { ~ D ~ s ~ } } = C _ { \mathrm { ~ D ~ s ~ 0 ~ } } ( 1 + \alpha _ { \mathrm { ~ s ~ } } R e _ { \mathrm { p } } ^ { \beta _ { \mathrm { s } } } ) ,
146,081		8 0 \%
188,113		\sigma = 0 . 9
543,128		0 . 0 2 c
252,791		v
751,974		\frac { \partial \phi } { \partial x } ^ { i j k } \approx h \frac { \phi ^ { i + 1 / h , j , k } - \phi ^ { i - 1 / h , j , k } } { 2 \Delta x } .
216,083		R - 4 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + 4 \nabla ^ { 2 } \phi + J + c = 0 .
742,341		\Delta \omega = \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } = 1 - 2 k
511,484		\gamma > 0
735,790		\hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ n ~ } }
10,362		s _ { \ast } : = s _ { i + 1 } ( t )
949,375		\begin{array} { r l } { f _ { d } } & { = 1 - \operatorname { t a n h } { \left( { 1 6 r _ { d } } ^ { 3 } \right) } \ \ \ \mathrm { a n d } } \\ { r _ { d } } & { = \frac { \nu + \nu _ { t } } { \sqrt { \sum _ { i , j } { \left( \partial u _ { i } / \partial x _ { j } \right) } ^ { 2 } } \kappa ^ { 2 } d _ { w } ^ { 2 } } \ \ \ \mathrm { w i t h } \ \ \ \nu _ { t } = \frac { \Tilde { k } } { \omega } = \frac { \widetilde { v _ { i } ^ { \prime \prime } v _ { i } ^ { \prime \prime } } } { 2 \omega } \ \ . } \end{array}
109,732		\mu ^ { 2 } \, = \, { \frac { 1 } { g N \alpha ^ { \prime } } } \, \, .
325,619		c
1,027,680		\begin{array} { r l r } { n _ { B } \, { \cal R } } & { \approx } & { \frac { n _ { B } \, b _ { p B \alpha } } { \nu _ { p e } \left( u _ { p e } \right) } \approx \frac { C _ { p e } \, \gamma _ { p e } ^ { 2 } \, u _ { \alpha } \, u _ { p e } ^ { 3 } } { \Lambda _ { p e } } \approx 4 \cdot 1 0 ^ { 2 6 } \, \mathrm { m } ^ { 2 } \, . } \end{array}
340,057		J \times B
257,280		x
334,882		K
240,892		\begin{array} { r l } { \Delta \approx } & { D _ { x } ^ { + } D _ { x } ^ { - } + D _ { y } ^ { + } D _ { y } ^ { - } + D _ { z } ^ { + } D _ { z } ^ { - } } \\ { = } & { - \frac { ( 2 \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { x } \Delta x ) ) ^ { 2 } } { \Delta x ^ { 2 } } - \frac { ( 2 \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { y } \Delta y ) ) ^ { 2 } } { \Delta y ^ { 2 } } - \frac { ( 2 \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { z } \Delta z ) ) ^ { 2 } } { \Delta z ^ { 2 } } } \end{array}
308,239		2 0 0
441,706		\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } v _ { i x } ^ { p } ( u _ { x } , T ) v _ { i y } ^ { q } ( u _ { y } , T ) v _ { i z } ^ { r } ( u _ { z } , T ) } & { { } = M _ { x ^ { p } y ^ { q } z ^ { r } } ^ { \lambda } , } \end{array}
380,299		- 1 . 6 1
695,645		\leq 7
1,057,803		W ( \Gamma ; A ) \equiv \mathrm { T r \, } \mathrm { P \, } \exp \left\{ i g \oint _ { \Gamma } d z ^ { \mu } A _ { \mu } ( z ) \right\} ,
504,058		0 . 9 9 9
182,754		P ( n ) = \int \mathrm { d } \xi \, P ( n \| \xi ) P ( \xi ) .
308,515		k _ { x }
432,686		M _ { \mathrm { B H } } ^ { \mathrm { m i n } } = \frac { M _ { s } } { g _ { s } ^ { 2 } } \; ,
247,078		e ^ { - ( \uplambda _ { e } ^ { 0 } - \uplambda _ { e } ^ { 1 } ) } \left( \frac { \uplambda _ { e } ^ { 0 } } { \uplambda _ { e } ^ { 1 } } \right) ^ { \tilde { A } _ { e } } \ge 1
532,677		\mu = t _ { s } ^ { m i n } \frac { ( 2 + \beta ) } { 2 } .
790,981		\varepsilon _ { k }
771,935		\sigma _ { n } ( L _ { F } , t ) \rightarrow 0
881,641		\begin{array} { r l } { [ ( x ( v ) ) ^ { - 1 } ] D _ { I } \frac { \hat { P } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } { P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } } & { = \lambda \sum _ { k = 0 } ^ { d } W _ { \| I \| + 1 } ^ { ( 1 ) } ( \hat { z } ^ { k } ; I ) + D _ { I } ^ { 0 } \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 ( x ( z ) - x ( 0 ) ) ^ { 3 } } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { \| I \| } D _ { I \setminus u _ { j } } \Big \{ \frac { \lambda ^ { 3 } \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) r e g } ( u _ { j } , u _ { j } ) } { ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 3 } } - \frac { \lambda ^ { 2 } W _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( u _ { j } ) } { ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } } \\ & { \qquad - \frac { \lambda ^ { 3 } } { 2 ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial ( x ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) } \Big \} } \end{array}
113,878		D _ { 3 } = \left\| \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } & { a _ { 5 } } \\ { 1 } & { a _ { 2 } } & { a _ { 4 } } \\ { 0 } & { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } \end{array} \right\| > 0 , . . . , D _ { k } = \left\| \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } & { . . . } & { . . . } \\ { 1 } & { a _ { 2 } } & { a _ { 4 } } & { . . . } \\ { 0 } & { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } & { . . . } \\ { 0 } & { 1 } & { a _ { 2 } } & { . . . } \\ { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } \\ { 0 } & { 0 } & { . . . } & { a _ { k } } \end{array} \right\| > 0 ,
289,541		c _ { \widetilde { T } _ { \beta } } ( \kappa ) = \frac { \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \gamma _ { \kappa } ^ { 2 } ( b ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { \beta } \lambda _ { j } \nu _ { d } ( j ) } + o \left( \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \gamma _ { \kappa } ^ { 2 } ( b ) \right) .
125,810		\begin{array} { r } { \partial _ { t } \mathbf { u } + \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } \mathbf { u } + \mathbf { \nabla } P - \frac { 1 } { R e } \Delta \mathbf { u } = \mathbf { f } , } \\ { \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { u } = 0 , } \\ { U ( x , \pm y _ { w } , z ) = U _ { w } , v ( x , \pm y _ { w } , z ) = \partial _ { y } v \| _ { ( x , \pm y _ { w } , z ) } = 0 . } \end{array}
713,233		f : X \to Y
131,248		f ( t )
951,102		4 \, I _ { \mathrm { s a t } }
466,876		E _ { P }
485,730		\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( r ) } & { { } \simeq \frac { 1 } { 2 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ K _ { 0 } ( \kappa r ) - \frac { 3 } { 4 ( \kappa r ) ^ { 2 } } + \frac { 3 K _ { 1 } ( \kappa r ) } { 4 \kappa r } \right] , } \\ { C _ { 2 } ( r ) } & { { } \simeq \frac { 3 } { 4 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \frac { 1 } { ( \kappa r ) ^ { 2 } } - \frac { K _ { 2 } ( \kappa r ) } { 2 } \right] , } \\ { C _ { 3 } ( r ) } & { { } \simeq \frac { \mu } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \kappa r K _ { 1 } ( \kappa r ) - 2 K _ { 0 } ( \kappa r ) \right] , } \end{array}
45,528		\begin{array} { r } { ( \forall \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Y \in \Gamma ( T M ) : \omega ( X , Y ) = 0 ) \Rightarrow X = 0 . } \end{array}
169,308		\| a \| = \left\{ { \begin{array} { r l } { a , } & { { \mathrm { i f ~ } } a \geq 0 } \\ { - a , } & { { \mathrm { i f ~ } } a < 0 . } \end{array} } \right.
228,020		\mathbf { q } _ { n + 1 } \leftarrow C N N _ { n } ^ { 2 } ( \mathbf { q } _ { n } , F A N ( \mathbf { \overline { { f } } _ { n } ^ { e } } ) )
448,188		\overline { { I } } _ { k } \equiv \frac { 1 } { t _ { k + 1 } - t _ { k } } \int _ { t _ { k } } ^ { t _ { k + 1 } } I ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } .
905,123		1 7
198,666		t
324,270		\sim 0 . 0 7
697,807		\rho
1,033,751		T _ { i }
623,168		( E , \mu )
515,455		y = 0 . 7
649,883		\psi _ { i }
341,889		d \mathcal S ^ { 2 } = \frac { 1 } { \left( 1 - V ^ { 2 } / v ^ { 2 } \right) } [ c ^ { 2 } ( d t ) ^ { 2 } - ( d x ) ^ { 2 } - ( d y ) ^ { 2 } - ( d z ) ^ { 2 } ] ,
5,485		\tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) = e ^ { 2 \pi i \tilde { c } _ { j , k } ( p , q ) } \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \tilde { \chi } _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i ( \boldsymbol { s } _ { j , k } \cdot \boldsymbol { \xi } + \tilde { \eta } _ { j , k , p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) ) } \mathcal { F } ( I ) ( \tilde { T } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \right) ( \boldsymbol { x } ) \, .
380,962		\frac { d v } { d t } = 0 . 0 4 v ^ { 2 } + 5 v + 1 4 0 - u ^ { j + 1 } + I ( t ) , \qquad v ( t ^ { j } ) = v ^ { j } .
923,904		S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \widetilde { g } } \left[ \frac { \widetilde { R } } { 2 \kappa ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \widetilde { g } ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } \phi \nabla _ { \nu } \phi - V ( \phi ) + \widetilde { { \cal L } } _ { m } \right] .
684,815		\Delta _ { 3 } = \big ( \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \big ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { \ln ^ { 2 } R e _ { * } } . \
700,967		\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d \phi g ( \phi ) = \frac { 1 } { 2 } u _ { b } ^ { 2 } b _ { \mathrm { e x t } } - L .
1,027,995		p ^ { \prime } ( z ^ { - } ( \tau ) ) = \frac { 1 + \frac { \partial z ^ { 1 } } { \partial z ^ { 0 } } } { 1 - \frac { \partial z ^ { 1 } } { \partial z ^ { 0 } } } = \frac { 1 + v } { 1 - v } \, ,
875,939		A _ { 1 7 t } = F ( 1 - { \cal W } ) , \ \ \ \ \ A _ { 2 7 t } = A F K ^ { - 1 } ( 1 + { \cal W } ) , \ \ \ \ \ A _ { 2 7 \varphi } = - P ( 1 - \cos \theta ) ,
761,791		\alpha
745,455		1 . 1 \%

830,221

1 9 8 . 6 7 8 _ { 1 9 6 . 5 7 4 } ^ { 2 0 1 . 3 8 2 }

102,345

i

863,661

_ 2

164,398

T _ { e }

194,522

\int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi \, \frac { \Phi _ { B 1 } ( \xi ) } { \xi } = \frac { m _ { B } } { \lambda _ { B } } \, .

504,626

\mathbf { u }

13,677

g g

451,704

\langle \delta \theta ^ { 2 } \rangle = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } S _ { \delta \theta } \, d \omega = \frac { k _ { B } T } { I } \frac { \Gamma } { \Gamma ^ { \prime } } \frac { 1 } { \omega _ { m } ^ { \prime \, 2 } } + \frac { 2 \beta ^ { 2 } P _ { \mathrm { o p t } } ^ { 2 } \tau _ { 0 } ^ { 2 } G _ { D } ^ { 2 } } { I ^ { 2 } \Gamma ^ { \prime } } S _ { \theta _ { n } }

963,874

( 0 , 1 )

456,455

\mathbb { P } \left( \operatorname* { m i n } \{ H _ { S , i } ^ { L } : \ i = \operatorname* { m i n } ( 0 , \tau ) , \dots , \operatorname* { m a x } ( 0 , \tau ) \} > u \ \Big | \ H _ { S , 0 } \in [ 1 1 . 5 , 1 2 . 5 ] \right) ,

406,751

E _ { w } \approx \rho g \sigma ^ { 2 } .

21,598

G _ { \mathrm { V O R - a n g l e - r i g h t } }

136,060

v _ { \varphi }

615,414

\begin{array} { r } { \Delta \nu = s _ { \mathrm { ~ m ~ } } \, p + \Delta ^ { 2 } \nu , } \end{array}

669,199

E _ { \psi } \equiv q ^ { E _ { 1 1 } + E _ { n n } - \frac { 2 } { n } N } \, E _ { 1 n } \, , ~ ~ ~ ~ F _ { \psi } \equiv E _ { n 1 } \, q ^ { - E _ { 1 1 } - E _ { n n } + \frac { 2 } { n } N } \, E _ { 1 n }

503,038

\frac { L } { \pi } T _ { F } ^ { + + } ( n , m ) | 0 \rangle = { \frac { ( n - m ) } { 4 } } b _ { i j } ^ { \dagger } ( n ) b _ { j i } ^ { \dagger } ( m ) | 0 \rangle \, .

771,914

5 y ^ { 4 } { \frac { d y } { d x } } - { \frac { d y } { d x } } = { \frac { d x } { d x } } \, ,

87,871

\left( e _ { 2 j } \right) _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } = \sqrt { Q } ~ \prod _ { k } ~ \delta ( \sigma _ { k } , \sigma _ { k } ^ { \prime } ) { } ~ \delta ( \sigma _ { j } , \sigma _ { j + 1 } )

37,074

C _ { 0 } \approx \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } \epsilon D \frac r b \, .

828,930

P _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ e ~ t ~ i ~ c ~ } }

795,322

\pm 0 . 5 \%

203,980

f : S ^ { 2 } \to \mathbb { C }

71,168

\begin{array} { r } { \frac 1 B \sum _ { k = 2 } ^ { ( \ell _ { N } ) ^ { n } } \frac { 1 } { k ^ { m } } + T B \frac { ( \ell _ { N } ) ^ { m - 1 } } { N } \sum _ { k = 2 } ^ { ( \ell _ { N } ) ^ { n } } \frac { 1 } { k ^ { m - 2 } } \lesssim \frac 1 B + T B \left( \frac { ( \ell _ { N } ) ^ { m - 1 + n ( 3 - m ) } } { N } + \frac { ( \ell _ { N } ) ^ { m - 1 } } { N } \right) , } \end{array}

820,315

\begin{array} { r l r } { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { l a b } } & { { } = } & { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { c m } \frac { d \Omega _ { c m } } { d \Omega _ { l a b } } } \end{array}

742,175

K _ { q } ^ { M N B D } = k ^ { 1 - q } ( q - 1 ) ! ( \chi ^ { q } - \Delta ^ { q } ) / ( \chi - \Delta ) ^ { q } ,

1,023,949

\left[ { \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { a _ { 0 } } & { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { a _ { 4 } } & { a _ { 5 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { a _ { 6 } } \end{array} } \right]

408,138

g ^ { ( 2 ) } ( 0 ) = 1 - \frac { 1 } { N _ { s s } } + \frac { \langle \delta N _ { } ( 0 ) ^ { 2 } \rangle } { N _ { s s } ^ { 2 } } .

104,835

\Omega _ { c }

663,993

\alpha _ { z } \equiv \langle \mathcal { T } _ { z \varphi } / P _ { 0 } \rangle _ { r \varphi }

387,388

c _ { 1 } , c _ { 2 } , c _ { 3 } , c _ { 4 }

323,367

^ { 1 , 2 , 3 , 4 }

87,619

s

330,348

- { \frac { 4 } { 7 } } \Delta + { \frac { 5 } { 7 } } \Sigma ^ { * } + { \frac { 2 } { 7 } } \Xi ^ { * } - { \frac { 3 } { 7 } } \Omega

938,755

A _ { s }

394,341

| V _ { u b } | ^ { 2 } = \frac { | V _ { u b } ^ { 0 } | ^ { 2 } } { | V _ { t b } ^ { 0 } | ^ { 2 } ( h ^ { 2 } - 1 ) + 1 } ,

137,625

K

1,371

k T _ { H } ^ { \mathrm { R N } } = { \frac { \hbar } { 4 \pi r _ { H } } } \left( 1 - { \frac { G Q ^ { 2 } } { r _ { H } ^ { 2 } } } \right) .

270,582

C _ { \mathrm { ~ D ~ s ~ } } = C _ { \mathrm { ~ D ~ s ~ 0 ~ } } ( 1 + \alpha _ { \mathrm { ~ s ~ } } R e _ { \mathrm { p } } ^ { \beta _ { \mathrm { s } } } ) ,

146,081

8 0 \%

188,113

\sigma = 0 . 9

543,128

0 . 0 2 c

252,791

v

751,974

\frac { \partial \phi } { \partial x } ^ { i j k } \approx h \frac { \phi ^ { i + 1 / h , j , k } - \phi ^ { i - 1 / h , j , k } } { 2 \Delta x } .

216,083

R - 4 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + 4 \nabla ^ { 2 } \phi + J + c = 0 .

742,341

\Delta \omega = \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } = 1 - 2 k

511,484

\gamma > 0

735,790

\hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ n ~ } }

10,362

s _ { \ast } : = s _ { i + 1 } ( t )

949,375

\begin{array} { r l } { f _ { d } } & { = 1 - \operatorname { t a n h } { \left( { 1 6 r _ { d } } ^ { 3 } \right) } \ \ \ \mathrm { a n d } } \\ { r _ { d } } & { = \frac { \nu + \nu _ { t } } { \sqrt { \sum _ { i , j } { \left( \partial u _ { i } / \partial x _ { j } \right) } ^ { 2 } } \kappa ^ { 2 } d _ { w } ^ { 2 } } \ \ \ \mathrm { w i t h } \ \ \ \nu _ { t } = \frac { \Tilde { k } } { \omega } = \frac { \widetilde { v _ { i } ^ { \prime \prime } v _ { i } ^ { \prime \prime } } } { 2 \omega } \ \ . } \end{array}

109,732

\mu ^ { 2 } \, = \, { \frac { 1 } { g N \alpha ^ { \prime } } } \, \, .

325,619

c

1,027,680

\begin{array} { r l r } { n _ { B } \, { \cal R } } & { \approx } & { \frac { n _ { B } \, b _ { p B \alpha } } { \nu _ { p e } \left( u _ { p e } \right) } \approx \frac { C _ { p e } \, \gamma _ { p e } ^ { 2 } \, u _ { \alpha } \, u _ { p e } ^ { 3 } } { \Lambda _ { p e } } \approx 4 \cdot 1 0 ^ { 2 6 } \, \mathrm { m } ^ { 2 } \, . } \end{array}

340,057

J \times B

257,280

x

334,882

K

240,892

\begin{array} { r l } { \Delta \approx } & { D _ { x } ^ { + } D _ { x } ^ { - } + D _ { y } ^ { + } D _ { y } ^ { - } + D _ { z } ^ { + } D _ { z } ^ { - } } \\ { = } & { - \frac { ( 2 \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { x } \Delta x ) ) ^ { 2 } } { \Delta x ^ { 2 } } - \frac { ( 2 \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { y } \Delta y ) ) ^ { 2 } } { \Delta y ^ { 2 } } - \frac { ( 2 \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { z } \Delta z ) ) ^ { 2 } } { \Delta z ^ { 2 } } } \end{array}

308,239

2 0 0

441,706

\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } v _ { i x } ^ { p } ( u _ { x } , T ) v _ { i y } ^ { q } ( u _ { y } , T ) v _ { i z } ^ { r } ( u _ { z } , T ) } & { { } = M _ { x ^ { p } y ^ { q } z ^ { r } } ^ { \lambda } , } \end{array}

380,299

- 1 . 6 1

695,645

\leq 7

1,057,803

W ( \Gamma ; A ) \equiv \mathrm { T r \, } \mathrm { P \, } \exp \left\{ i g \oint _ { \Gamma } d z ^ { \mu } A _ { \mu } ( z ) \right\} ,

504,058

0 . 9 9 9

182,754

P ( n ) = \int \mathrm { d } \xi \, P ( n | \xi ) P ( \xi ) .

308,515

k _ { x }

432,686

M _ { \mathrm { B H } } ^ { \mathrm { m i n } } = \frac { M _ { s } } { g _ { s } ^ { 2 } } \; ,

247,078

e ^ { - ( \uplambda _ { e } ^ { 0 } - \uplambda _ { e } ^ { 1 } ) } \left( \frac { \uplambda _ { e } ^ { 0 } } { \uplambda _ { e } ^ { 1 } } \right) ^ { \tilde { A } _ { e } } \ge 1

532,677

\mu = t _ { s } ^ { m i n } \frac { ( 2 + \beta ) } { 2 } .

790,981

\varepsilon _ { k }

771,935

\sigma _ { n } ( L _ { F } , t ) \rightarrow 0

881,641

\begin{array} { r l } { [ ( x ( v ) ) ^ { - 1 } ] D _ { I } \frac { \hat { P } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } { P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } } & { = \lambda \sum _ { k = 0 } ^ { d } W _ { | I | + 1 } ^ { ( 1 ) } ( \hat { z } ^ { k } ; I ) + D _ { I } ^ { 0 } \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 ( x ( z ) - x ( 0 ) ) ^ { 3 } } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } D _ { I \setminus u _ { j } } \Big \{ \frac { \lambda ^ { 3 } \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) r e g } ( u _ { j } , u _ { j } ) } { ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 3 } } - \frac { \lambda ^ { 2 } W _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( u _ { j } ) } { ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } } \\ & { \qquad - \frac { \lambda ^ { 3 } } { 2 ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial ( x ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) } \Big \} } \end{array}

113,878

D _ { 3 } = \left| \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } & { a _ { 5 } } \\ { 1 } & { a _ { 2 } } & { a _ { 4 } } \\ { 0 } & { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } \end{array} \right| > 0 , . . . , D _ { k } = \left| \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } & { . . . } & { . . . } \\ { 1 } & { a _ { 2 } } & { a _ { 4 } } & { . . . } \\ { 0 } & { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } & { . . . } \\ { 0 } & { 1 } & { a _ { 2 } } & { . . . } \\ { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } \\ { 0 } & { 0 } & { . . . } & { a _ { k } } \end{array} \right| > 0 ,

289,541

c _ { \widetilde { T } _ { \beta } } ( \kappa ) = \frac { \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \gamma _ { \kappa } ^ { 2 } ( b ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { \beta } \lambda _ { j } \nu _ { d } ( j ) } + o \left( \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \gamma _ { \kappa } ^ { 2 } ( b ) \right) .

125,810

\begin{array} { r } { \partial _ { t } \mathbf { u } + \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } \mathbf { u } + \mathbf { \nabla } P - \frac { 1 } { R e } \Delta \mathbf { u } = \mathbf { f } , } \\ { \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { u } = 0 , } \\ { U ( x , \pm y _ { w } , z ) = U _ { w } , v ( x , \pm y _ { w } , z ) = \partial _ { y } v | _ { ( x , \pm y _ { w } , z ) } = 0 . } \end{array}

713,233

f : X \to Y

131,248

f ( t )

951,102

4 \, I _ { \mathrm { s a t } }

466,876

E _ { P }

485,730

\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( r ) } & { { } \simeq \frac { 1 } { 2 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ K _ { 0 } ( \kappa r ) - \frac { 3 } { 4 ( \kappa r ) ^ { 2 } } + \frac { 3 K _ { 1 } ( \kappa r ) } { 4 \kappa r } \right] , } \\ { C _ { 2 } ( r ) } & { { } \simeq \frac { 3 } { 4 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \frac { 1 } { ( \kappa r ) ^ { 2 } } - \frac { K _ { 2 } ( \kappa r ) } { 2 } \right] , } \\ { C _ { 3 } ( r ) } & { { } \simeq \frac { \mu } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \kappa r K _ { 1 } ( \kappa r ) - 2 K _ { 0 } ( \kappa r ) \right] , } \end{array}

45,528

\begin{array} { r } { ( \forall \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Y \in \Gamma ( T M ) : \omega ( X , Y ) = 0 ) \Rightarrow X = 0 . } \end{array}

169,308

| a | = \left\{ { \begin{array} { r l } { a , } & { { \mathrm { i f ~ } } a \geq 0 } \\ { - a , } & { { \mathrm { i f ~ } } a < 0 . } \end{array} } \right.

228,020

\mathbf { q } _ { n + 1 } \leftarrow C N N _ { n } ^ { 2 } ( \mathbf { q } _ { n } , F A N ( \mathbf { \overline { { f } } _ { n } ^ { e } } ) )

448,188

\overline { { I } } _ { k } \equiv \frac { 1 } { t _ { k + 1 } - t _ { k } } \int _ { t _ { k } } ^ { t _ { k + 1 } } I ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } .

905,123

1 7

198,666

t

324,270

\sim 0 . 0 7

697,807

\rho

1,033,751

T _ { i }

623,168

( E , \mu )

515,455

y = 0 . 7

649,883

\psi _ { i }

341,889

d \mathcal S ^ { 2 } = \frac { 1 } { \left( 1 - V ^ { 2 } / v ^ { 2 } \right) } [ c ^ { 2 } ( d t ) ^ { 2 } - ( d x ) ^ { 2 } - ( d y ) ^ { 2 } - ( d z ) ^ { 2 } ] ,

5,485

\tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) = e ^ { 2 \pi i \tilde { c } _ { j , k } ( p , q ) } \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \tilde { \chi } _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i ( \boldsymbol { s } _ { j , k } \cdot \boldsymbol { \xi } + \tilde { \eta } _ { j , k , p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) ) } \mathcal { F } ( I ) ( \tilde { T } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \right) ( \boldsymbol { x } ) \, .

380,962

\frac { d v } { d t } = 0 . 0 4 v ^ { 2 } + 5 v + 1 4 0 - u ^ { j + 1 } + I ( t ) , \qquad v ( t ^ { j } ) = v ^ { j } .

923,904

S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \widetilde { g } } \left[ \frac { \widetilde { R } } { 2 \kappa ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \widetilde { g } ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } \phi \nabla _ { \nu } \phi - V ( \phi ) + \widetilde { { \cal L } } _ { m } \right] .

684,815

\Delta _ { 3 } = \big ( \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \big ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { \ln ^ { 2 } R e _ { * } } . \

700,967

\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d \phi g ( \phi ) = \frac { 1 } { 2 } u _ { b } ^ { 2 } b _ { \mathrm { e x t } } - L .

1,027,995

p ^ { \prime } ( z ^ { - } ( \tau ) ) = \frac { 1 + \frac { \partial z ^ { 1 } } { \partial z ^ { 0 } } } { 1 - \frac { \partial z ^ { 1 } } { \partial z ^ { 0 } } } = \frac { 1 + v } { 1 - v } \, ,

875,939

A _ { 1 7 t } = F ( 1 - { \cal W } ) , \ \ \ \ \ A _ { 2 7 t } = A F K ^ { - 1 } ( 1 + { \cal W } ) , \ \ \ \ \ A _ { 2 7 \varphi } = - P ( 1 - \cos \theta ) ,

761,791

\alpha

745,455

1 . 1 \%